සාමාන්ය polyhedra: අංග සමමිතියක් සහ ප්රදේශයේ

ජ්යාමිතිය ලස්සනයි හැම විටම ඇයි ඔබ සිතන දේ පැහැදිලි නොවන වීජ ගණිතය, මෙන් නොව, දෘශ්ය වස්තුව ලබා දෙයි, නිසා. විවිධ ආයතනවල මේ පුදුම ලෝකයේ සාමාන්ය polyhedra අලංකාර.

නිත්ය polyhedra පිළිබඳ සාමාන්ය තොරතුරු

බොහෝ, නිත්ය polyhedrons අනුව, හෝ ඔවුන් ප්ලේටෝගේ ඝන ලෙස හැඳින්වේ ලෙස, අද්විතීය ගුණ සතුව තිබේ. මෙම වස්තූන් විද්යාත්මක කල්පිත කිහිපයක් සම්බන්ධ සමඟ. ඔබ ශරීරයේ ජ්යාමිතික දත්ත අධ්යයනය කිරීම ආරම්භ කරන විට, ඔබ පාහේ නිරන්තර polyhedra වැනි සංකල්පය ගැන කිසිම දෙයක් දන්නේ නෑ කියන එක. පාසල් තුළ මෙම වස්තු ඉදිරිපත් සෑම විටම රසවත් නොවන අතර, එම නිසා ඔවුන් කැඳවා දේ පවා බොහෝ මතක නෑ. බොහෝ දෙනාගේ මතකයේ ඒක ඝනය. ශරීරය ජ්යාමිතිය කිසිවක් නිත්ය polyhedrons වැනි පරිපූර්ණ උරුම නැත. මෙම ජ්යාමිතික සිරුරු සියලු නම් පුරාණ ග්රීසියේ සිට ආරම්භ වී ඇත. සිව් ඒක පාර්ශවීය, දශමස්ථාන ද - - ඇලන් octahedron - අටපට්ටම, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - විසංතිතල මෙම tetrahedron: ඔවුන් මුහුණු සංඛ්යාව නියෝජනය කරයි. මෙම ජ්යාමිතික ශරීරයේ මුළු විශ්වයේම ප්ලේටෝගේ සංකල්පය වැදගත් ස්ථානයක් අත්පත් කරගෙන ඇත. ඉන් ආයතන හතරක් මූලද්රව්ය හෝ ආයතන ගැබ්ව: මෙම tetrahedron - ගිනි, මෙම icosahedron - ජල කැට - පොළොව, octahedron - ගුවන්. Dodecahedron සියල්ල මූර්තිමත්. උන් වහන්සේ විශ්වය පිළිබඳ සංකේතයක් ලෙස, ප්රධාන ලෙස සලකන ලදී.

එය polyhedron සංකල්පය පිළිබඳ බල

Polyhedron එවැනි රටාවන් පරිමිත එකතුව:

• බහුඅස්රයන් ඕනෑම දෙපස එක් එක් එකම පැත්තේ තවත් බහුඅස්ර එකම කාලය එකම එක පැත්තේ ය;
• බහුඅස්රයන් එක් එක් ඔබට අස්ර කි්රයාත්මක යාබද යැවීමෙන් අනෙක් ගමන් කළ හැකිය.

ඉළ ඇට - මෙම polyhedron සමන්විත අස්ර එහි මුහුණු සහ ඔවුන්ගේ පැත්තේ නියෝජනය. polyhedra vertices අස්ර යන vertices වේ. මෙම යෙදුම බහු අස්ර පැතලි වසා polylines තේරුම් නම්, පසුව polyhedron එක් අර්ථ දැක්වීම එන්න. මෙම යෙදුම විසින් බිඳුණු රේඛා මායිම් බව යානයේ කොටසක් අදහස් කරන්නේ එහිදී මෙම නඩුව දී, එය බහු අස්රමය කෑලි සමන්විත මතුපිට තේරුම් ගත වනු ඇත. උත්තල polyhedron, එහි මුහුණු යාබද තලය එක පැත්තකින් බොරු ශරීරය ලෙස හැඳින්වේ.

එය polyhedron තවත් අර්ථ දැක්වීම හා එහි අංග

Polyhedron ජ්යාමිතික ශරීරය සීමා කරන, රටාවන් සමන්විත මතුපිට හමුවිය. ඒවා:

• නොවන, උත්තල;
• උත්තල (හරි දේ සහ වැරදි දේ).

සාමාන්ය polyhedron - maximal සමමිතිය සමග උත්තල polyhedron වේ. නිත්ය polyhedra අංග:

• Tetrahedron: 6 ඉළ ඇට 4 මුහුණු 5 vertices;
• දශමස්ථාන ද (කැට) 12, 6, 8;
• 30, 12, 20 dodecahedron;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

ඉයූලර් ගේ ප්රමේයය

එය දාර, vertices හා මුහුණු සංඛ්යාව අතර සම්බන්ධතාවය ක්ෂේත්රයට topologically සමාන වේ තහවුරු කරයි. එය සරළ සූත්රයක් ව්යුත්පන්න කිරීමට හැකි වන vertices හා දාර සංඛ්යාව සමාන මුහුණු සංඛ්යාව එකතුව (P) 2. කින් ඉහළ: vertices හා මුහුණු සංඛ්යාව (B + D) විවිධ නිත්ය polyhedra ඇති අතර ඉළ ඇට සංඛ්යාව සමග සංසන්දනය එකතු, එය එක් නීතියක් සකස් කිරීමට හැකි ය:

• B + D = P + 2.

මෙම සූත්රය සියලු උත්තල polyhedra සඳහා වලංගු වේ.

මූලික අර්ථ දැක්වීම්

සාමාන්ය polyhedron පිළිබඳ සංකල්පය එක් වගන්තියකින් විස්තර කිරීමට නොහැකි ය. එය වඩා වටිනා හා පරිමාව වේ. වැනි පිළිගත් කිරීමට සිරුරක්, එය අර්ථ දැක්වීම් ගණනාවක් සැකසී ඇති බව අවශ්ය ය. මෙම කොන්දේසි හමු වූ විට මේ අනුව, ජ්යාමිතික ශරීරය නිත්ය polyhedron වනු ඇත:

• එය, උත්තල ය;
• ඉළ ඇට සංඛ්යාව සමාන එහි vertices එක් එක් අභිසාරී;
• ඔහුගේ සියලු පැතිකඩ ආවරණය - නිත්ය අස්ර, එකිනෙකාට සමාන;
• සියලු dihedral කෝණ සමාන වේ.

නිත්ය polyhedra ගුණ පිළිබඳ

නිත්ය polyhedra විවිධ වර්ගයේ 5 ඇත:

1. කැට (දශමස්ථාන ද) - එය පැතලි මුඳුන් කෝණය 90 ° වන ඇත. එහි 3 ඒක පාර්ශවීය කෝණය ඇත. ප්රමාණය මුහුණ 270 ° මුදුනතම බැකට්.
2. Tetrahedron - 60 ° - පැතලි මුඳුන් කෝණය. එහි 3 ඒක පාර්ශවීය කෝණය ඇත. 180 ° - ප්රමාණය මුහුණ මුදුනතම බැකට්.
3. Octahedron - 60 ° - පැතලි මුඳුන් කෝණය. එය හතර පැත්තකට කෝණය ඇත. 240 ° - ප්රමාණය මුහුණ මුදුනතම බැකට්.
4. Dodecahedron - 108 ° ක පැතලි මුඳුන් කෝණය. එහි 3 ඒක පාර්ශවීය කෝණය ඇත. 324 ° - ප්රමාණය මුහුණ මුදුනතම බැකට්.
5. Icosahedron - 60 ° - එය පැතලි මුඳුන් කෝණය ඇත. එය පස් ඒක පාර්ශවීය කෝණය ඇත. ප්රමාණය මුහුණ 300 ° මුදුනතම බැකට්.

නිත්ය polyhedra ප්රදේශයේ

ජ්යාමිතික සිරුරු (S) මතුපිට ප්රදේශයක් පැතිකඩවලින් ඔවුන් (G) සංඛ්යාව ගුණ නිත්ය බහු අස්ර ප්රදේශයක් ලෙස ගණනය කරනු ලැෙබ්:

• S = (අ: 2) 2G ctg π / p x.

සාමාන්ය polyhedron පරිමාව

මෙම අගය කාගේ පදනම නිත්ය බහු අස්ර වේ නිත්ය පිරමීඩයේ, මුහුණු සංඛ්යාව පරිමාව ගුණ ගණනය, සහ එහි උස, සන්තර්පණය (r) යන කොටා අරය වේ:

• V = 1: 3rS.

නිත්ය polyhedra වෙළුම්

වෙනත් ජ්යාමිතික හෝ ඝන වැනි, නිත්ය polyhedra විවිධ වෙළුම්. පහත ඔවුන් ගණනය හැකි විසින් සූත්ර:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• දශමස්ථාන ද (කැට): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

නිත්ය polyhedra අංග

දශමස්ථාන ද සහ octahedron ද්විත්ව ජ්යාමිතික සිරුරු වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔවුන් එක් වර්ග නියාමයට අනුව අනෙක් ඉහළ, සහ අනෙක් අතට ලෙස ගත කරන බව මෙම අවස්ථාවට එක් එක් අනෙකුත් පිටතට ලබා ගැනීමට හැකි වනු ඇත. ද ද්විත්ව icosahedron හා dodecahedron වේ. තමා පමණක් tetrahedron ද්විත්ව වේ. යුක්ලිඞ්ගේ ක්රමය අනුව කැට මුහුණු මත "වහල" ඉදිකිරීම විසින් dodecahedron දශමස්ථාන ද ලබා ගත හැක. මෙම tetrahedron වන vertices මෙම කැට, අද්දර දිගේ යාබද යුගල නොවන ඕනෑම 4 vertices වේ. දශමස්ථාන ද (කැට) සිට ලබා ගත හැකි, සහ වෙනත් නිත්ය polyhedra. යන කාරනය තිබිය නිත්ය අස්ර නිමක් නැති, නිත්ය polyhedra ඇත, 5 ක් පමණක් වේ.

නිත්ය බහුඅස්ර වලට අනූව

මෙම ජ්යාමිතික සිරුරු එක් එක් සමග කේන්ද්රීය බල 3 සම්බන්ධ කර ඇත:

• මෙම vertices හරහා ගමන් විස්තර,
• එහි මැද සිය මුහුණු එක් එක් සම්බන්ධයෙන් කොටා;
• මැද සියලු දාර ගැන මධ්යම තරමේ.

පහත සඳහන් වන සුත්රය විස්තර ගෝලයේ අරය ගණනය කරනු ලැෙබ්:

• R = වූ: 2 x tg π / ග්රෑම් x tg θ: 2.

පහත සඳහන් පරිදි කොටා ගෝලයක් අරය ගණනය කරනු ලැෙබ්:

• R = වූ: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

එහිදී θ - යාබද පැතිකඩවලින් ඔවුන් අතර වන dihedral කෝණය.

ගෝලයේ මධ්යස්ථ අරය පහත සඳහන් සමීකරණය භාවිතා ගණනය කළ හැක:

• මූලිකවම කතා π / p ρ = කරුණාකර: 2 පාපය π / h,

h = 4.6, 6.10, හෝ 10. විශාලත්වය ද කොටා ඇති සූර්යයා අතර අනුපාතය විස්තර symmetrically පි ගෞරවය හා q සමග එහිදී. පහත සඳහන් පරිදි එය ගණනය කරනු ලැෙබ්:

• ර / r = tg π / p x tg π / q.

polyhedra වන සමමිතිය

නිත්ය polyhedra වන සමමිතිය මේ ජ්යාමිතික සිරුරු සම්බන්ධයෙන් මූලික වශයෙන් වැදගත්. එය vertices, මුහුණු හා දාර සංඛ්යාව සමාන පිටත් වන අභ්යවකාශයේ ශරීරයේ ව්යාපාරයක් ලෙස අවබෝධ කර ගත හැකි ය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමමිතිය පරිවර්තනයන් බලපෑම යටතේ නවීන, ශීර්ෂයක් හෝ මුහුණ එහි මුල් ස්ථානය අත හෝ වෙනත් ඉල ගෙදර තත්වය, අනෙක් vertices හෝ මුහුණු දක්වා ගමන් කරයි.

නිත්ය polyhedra සමමිතිකය අංග ජ්යාමිතික ඝන සියලු වර්ග බහුලව සිදු වේ. එය මෙහි මුල් තැන ලකුණු ඕනෑම පිටත් වන අනන්යතාව පරිවර්තනය, මත සිදු කෙරේ. ඒ නිසා, ඔබ හැරී විට බහු අස්රමය ප්රිස්මය සමහර අසසමිතික ලබා ගත හැක. ඔවුන් ඕනෑම පිළිබිඹු නිෂ්පාදනයක් ලෙස නියෝජනය කළ හැක. සමමිතිය, ඊටත් සෘජු ලෙස, පරාවර්තන සංඛ්යාව නිමැවුමක් වන. එය පරපුරෙන් ඔත්තේ සංඛ්යාවක් නිෂ්පාදනයක් නම් එය ප්රතිචාර ලෙස හැඳින්වේ. මේ අනුව, මාර්ගය අවට සියලු මාරුවෙන් මාරුවට කෙළින්ම සමමිතිය නියෝජනය කරයි. ඕනෑම පිළිබිඹු polyhedron - ප්රතිලෝම සමමිතියක් ඇත.

නිත්ය polyhedra වන සමමිතිය අංග වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට, ඔබ tetrahedron ආදර්ශය ගත හැක. මෙම vertices එක් හා කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන බව ඕනෑම රේඛීය ජ්යාමිතික හැඩය, සිදු, සහ එය විරුද්ධ අද්දර කේන්ද්රය හරහා වනු ඇත. රේඛාව වටා මාරුවෙන් මාරුවට 120 සහ 240 ° එක් එක් බහු චතුස්තලීය සමමිතිය අයත් වේ. සිට vertices හා මුහුණු එය 4, අපි සෘජු අසසමිතික අට ක් ලබා ගන්න. දාර මැද හා ශරීරයේ කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන රේඛා ඕනෑම, එය විරුද්ධ අද්දර මැද හරහා ගමන් කරයි. 180 ° ඕනෑම මාරුව, සෘජු සමමිතිය පමණ අර්ධ හැරීම හමුවිය. මෙම tetrahedron ඉළ ඇට යුගල තුනක් ඇති බැවින්, ඔබ සමමිතිය රේඛා තුනක් ලබා ගන්න. ඉහත මත පදනම්ව, අපි සෘජු සමමිතිය සංඛ්යාව නිගමනය, සහ අනන්යතාව, පරිවර්තනයන් ඇතුලූ හැකි, දොළොස් දක්වා වනු ඇත. වෙනත් සෘජු සමමිතිය tetrahedron නොපවතියි, නමුත් එය 12 ප්රතිලෝම සමමිතියක් ඇත. ප්රතිඵලයක් ලෙස, 24 tetrahedron අසසමිතික දැකිය හැකි විශේෂ ලක්ෂණයක් විය. පැහැදිලි බව, අපි කාඩ්බෝඩ් කළ නිත්ය tetrahedron ආකෘතියක් ගොඩනැගීමට හා එය ජ්යාමිතික ශරීරය ඇත්තටම 24 සමමිතිය ඇත බවට වග බලා ගන්න පුළුවන්.

Dodecahedron හා icosahedron - ශරීරය ප්රදේශයේ ආසන්නතම. Icosahedron මුහුණු විශාලතම අංකය, dihedral කෝණය ඇති අතර සියලු බොහෝ තදින් ඇති කොටා ක්ෂේත්රයේ එල්බ හැක. Dodecahedron අඩුම කෝණික කැළැල් විශාලතම ඝන වූ ශීර්ෂයක් දී කෝණය ඇත. එය ගැසීමත් ක්ෂේත්රය තුළ පිරවීමට උපරිම හැක.

ස්කෑන් polyhedra

අප සියලු ළමා එකට හිර නිතර polyhedra ස්කෑන්, සංකල්ප ගොඩක් ඇති. අස්ර මාලාවක් ඇති නම්, එක් එක් පැත්තේ polyhedron දෙපස ඇති එකම හඳුනාගත්, මෙම පක්ෂ හඳුනා කොන්දේසි දෙක එකඟව කටයුතු කළ යුතුය:

• එක් එක් බහු අස්ර, ඔබට පැත්තේ හඳුනා සහිත බහු අස්ර යන්න හැක;
• හඳුනාගත පැත්තේ සමාන දිගින් තිබිය යුතුය.

එය, මේ කොන්දේසි සපුරාලන අස්ර සමූහයක් වේ, සහ polyhedron ස්කෑන් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම මළ සිරුරු එක් එක් ඔවුන්ගෙන් කිහිපයක් තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, කැබලි 11 ඇත ඝනකයක්.